Đại số trừu tượng mở rộng các khái niệm quen thuộc trong đại số sơ cấp và số học với các con số đến những khái niệm tổng quát hơn. Dưới đây là liệt kê các khái niệm cơ bản trong đại số trừu tượng.

Tập hợp: Thay vì chỉ xem xét các loại số khác nhau, đại số trừu tượng làm việc với các khái niệm tổng quát hơn - tập hợp: một loạt của tất cả các đối tượng (gọi là phần tử) được lựa chọn theo một đặc điểm nào đó. Tất cả các nhóm các loại số quen thuộc đều là các tập hợp. Ví dụ khác về tập hợp bao gồm tập hợp của tất cả ma trận hai-nhân-hai, tập hợp tất cả các đa thức bậc hai (ax2 + bx + c), tập hợp của tất cả các vectơ hai chiều trong một mặt phẳng, và hàng loạt nhóm hữu hạn như các nhóm cyclic, đó là nhóm các số nguyên đồng dư modulo n. Lý thuyết tập hợp là một nhánh của logic và về mặt lý thuyết không phải là một nhánh của đại số.

Phép toán hai ngôi: Dấu của phép cộng (+) được trừu tượng hóa để dùng cho phép toán hai ngôi, chẳng hạn phép ∗. Các khái niệm về phép toán hai ngôi là vô nghĩa nếu tập hợp mà trên đó các phép toán trên được định nghĩa. Đối với hai phần tử a và b trong một tập S, a ∗ b cũng là một phần tử cúa S; điều kiện này được gọi là tính đóng của tập hợp đối với phép toán. Phép cộng (+), phép trừ (−), phép nhân (×,.), và phép chia (÷, ː) có thể là phép toán hai ngôi khi xác định trên các tập hợp khác nhau, cũng như phép cộng và phép nhân các ma trận, vectơ và đa thức.

Phần tử đơn vị: Những con số 0 và 1 được trừu tượng hóa để tạo ra khái niệm về một phần tử đơn vị cho một phép toán. 0 là phần tử đơn vị cho phép cộng và 1 là phần tử đơn vị cho phép nhân. Đối với một phép toán hai ngôi ∗ phần tử đơn vị e phải thỏa mãn a ∗ e = a và e ∗ a = a, và nếu nó tồn tại thì nó phải là duy nhất. Điều này đúng với phép cộng vì a + 0 = a và 0 + a = a và phép nhân khi a × 1 = a và 1 × a = a. Không phải tất cả các tập hợp và phép toán hai ngôi đều có phần tử đơn vị; Ví dụ, tập hợp số tự nhiên (1, 2, 3,...) không có phần tử đơn vị cho phép cộng.

Phần tử nghịch đảo: Các số âm đã đưa ra khái niệm các phần tử nghịch đảo. Đối với phép cộng, phần tử nghịch đảo của a được viết là -a, và cho phép nhân phần tử này được viết là a−1. Một yếu tố đảo ngược tổng quát a−1 thỏa mãn thuộc tính: a * a−1 = e và a−1 * a = e, trong đó e là phần tử đơn vị.

Tính kết hợp: Phép cộng các số nguyên có một thuộc tính được gọi là kết hợp. Nghĩa là, việc nhóm các số được thêm vào không ảnh hưởng đến tổng. Ví dụ: (2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4). Nói chung, điều này trở thành (a * b) * c = a * (b * c). Thuộc tính này là đúng với hầu hết các phép toán nhị phân, trừ phép trừ hoặc phép chia hoặc phép nhân octonon.

Tính giao hoán: Phép cộng và phép nhân của số thực đều là giao hoán. Điều này nghĩa là thứ tự của các số không ảnh hưởng đến kết quả. Ví dụ: 2 + 3 = 3 + 2. Nói chung, điều này sẽ trở thành a * b = b * a. Thuộc tính này không đúng cho tất cả các phép toán nhị phân. Ví dụ, phép nhân ma trận và phép chia bậc bốn đều không giao hoán.

Nhóm

Kết hợp các khái niệm trên cho một trong những cấu trúc quan trọng nhất trong toán học: nhóm. Một nhóm là sự kết hợp của một tập hợp S và một phép toán nhị phân duy nhất, được xác định theo bất kỳ cách nào bạn chọn, với các thuộc tính sau:

• Một phần tử đơn vị e tồn tại, sao cho mỗi thành viên a thuộc S, e ∗ a và a ∗ e đều bằng a.
• Mỗi phần tử đều có phần tử nghịch đảo: đối với mỗi thành viên a thuộc S, tồn tại một thành viên a−1 sao cho a ∗ a−1 và a−1 ∗ a đều bằng phần tử đơn vị e.
• Phép toán mang tính kết hợp: nếu a, b và c là các thành viên của S, thì (a ∗ b) ∗ c bằng a ∗ (b ∗ c).

Nếu một nhóm cũng có tính giao hoán - nghĩa là, với bất kỳ hai thành viên a và b của S, a * b bằng b * a - thì nhóm được gọi là nhóm giao hoán hay nhóm Abel.

Vành và trường